V247.XGP[TEX,DEK] - www.SailDart.org

perm filename V247.XGP[TEX,DEK] blob sn#521428 filedate 1980-07-09 generic text, type T, neo UTF8
/NOWRAPAROUND/LMAR=50/TMAR=50/RMAR=1700/BMAR=1/PMAR=0/XLINE=0/FONT#0=NGR13/USETI=000000151*TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX*

␈β	[␈↓ α4␈ε"SECTION␈α4.7␈αof␈αTHE␈αAR␈α⎇T␈αOF␈αCOMPUTER␈αPR␈α␈OGRAMMING
␈β
ε␈↓ β'␈ε6⎇␈ε"␈α1980␈αAddison↑W␈α⎇esley␈αPublishing␈αCompan␈α␈y,␈αInc.
␈β⊃H␈↓ ε2␈ε$0
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"506␈↓ 
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␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα$␈↓ ↓4␈ε=*␈↓ ↓H␈ε=4␈α␈.7.␈α∩M␈α␈AN␈α↓IP␈α␈ULA␈α⎇TION␈α
OF␈α
P␈α␈O␈α␈WER␈α
SE␈α␈RIES
␈βαe␈↓ ↓H␈ε"I␈↓ ∧
␈ε"t␈α␈w␈α␈o␈↓ ∧Q␈ε"po␈α␈w␈α␈er␈αseries
␈βαj␈↓ ↓T␈ε.F␈αWE␈αA␈α↓RE␈αGIVEN
␈ββ/␈↓ ∧v␈ε%2␈↓ 	D␈ε%2
␈ββ7␈↓ ↓l␈ε(U␈↓ α	␈ε"(␈↓ α∃␈ε(z␈↓ α(␈ε")␈α
=␈↓ αl␈ε(U␈↓ β≥␈ε"+␈↓ βI␈ε(U␈↓ βs␈ε(z␈↓ ∧
␈ε"+␈↓ ∧9␈ε(U␈↓ ∧c␈ε(z␈↓ ¬∂␈ε"+␈↓ ¬;␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬k␈ε",␈↓ εC␈ε(V␈↓ ε`␈ε"(␈↓ εl␈ε(z␈↓ ε␈␈ε")␈α
=␈↓ πC␈ε(V␈↓ πr␈ε"+␈↓ λ≡␈ε(V␈↓ λD␈ε(z␈↓ λ←␈ε"+␈↓ 	␈ε(V␈↓ 	1␈ε(z␈↓ 	]␈ε"+␈↓ 
	␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 
9␈ε",␈↓ α␈ε"(1)
␈ββD␈↓ β∧␈ε%0␈↓ βb␈ε%1␈↓ ∧R␈ε%2␈↓ πY␈ε%0␈↓ λ3␈ε%1␈↓ 	!␈ε%2
␈β∧	␈↓ ↓H␈ε"wh␈α↓ose␈αcoe}cien␈α␈ts␈α
belong␈αto␈α
a␈α|eld,␈α
w␈α␈e␈α
can␈αform␈α
their␈αsum,␈α
their␈α
product,␈αtheir
␈β∧5␈↓ ↓H␈ε"quotien␈α␈t,␈α∞etc.,␈α∞to␈α∞obtain␈α∞new␈α
po␈α␈w␈α␈er␈α∞series.␈α⊗A␈α
polyn␈α↓omial␈α∞is␈α∞obviously␈α∞a␈α
special
␈β∧`␈↓ ↓H␈ε"case␈αof␈αa␈αpo␈α␈w␈α␈er␈αseries,␈αin␈αwhich␈αthere␈αare␈αonly␈α|nitely␈αman␈α␈y␈αterms.
␈β¬␈↓ α␈ε"Of␈α∩course,␈α∪only␈α⊃a␈α∩|nite␈α⊃n␈α␈um␈α␈ber␈α∩of␈α∩terms␈α⊃can␈α∩be␈α⊃represen␈α␈ted␈α∩and␈α⊃stored
␈β¬6␈↓ ↓H␈ε"within␈α⊂a␈α⊂computer,␈α⊃so␈α⊃it␈α⊂mak␈α␈es␈α⊂sense␈α⊂to␈α⊃ask␈α⊂whether␈α⊂po␈α␈w␈α␈er␈α⊂series␈α⊂arithmetic
␈β¬a␈↓ ↓H␈ε"is␈α∩ev␈α␈en␈α∩possible␈α∩on␈α∩computers;␈α∃and␈α∩if␈α∩it␈α∩is␈α∩possible,␈α∪what␈α∩mak␈α␈es␈α∩it␈α∩di{eren␈α␈t
␈βε
␈↓ ↓H␈ε"from␈αpolyn␈α↓omial␈α
arithmetic?␈α⊃The␈α
answ␈α␈er␈αis␈α
that␈αw␈α␈e␈α
w␈α␈ork␈αwith␈α
only␈αthe␈α
|rst␈↓ 	␈ε(N
␈βε8␈↓ ↓H␈ε"coe}cien␈α␈ts␈αof␈αthe␈αpo␈α␈w␈α␈er␈αseries,␈αwhere␈↓ ε→␈ε(N␈↓ εG␈ε"is␈αa␈αparameter␈αthat␈αma␈α␈y␈αin␈αprinciple␈αbe
␈βεc␈↓ ↓H␈ε"arbitrarily␈α∞large;␈α⊃instead␈α∂of␈α∞ordinary␈α∂polyn␈α↓omial␈α∂arithmetic,␈α⊂w␈α␈e␈α∂are␈α∞essen␈α␈tially
␈βπλ␈↓ ε5␈ε+N
␈βπ∞␈↓ ↓H␈ε"doing␈α⊂polyn␈α↓omial␈α∂arithmetic␈α⊂m␈α↓odulo␈↓ ε"␈ε(z␈↓ εR␈ε",␈α⊃and␈α⊂this␈α⊂o$en␈α⊂leads␈α⊂to␈α⊂a␈α∂somewhat
␈βπ9␈↓ ↓H␈ε"di{eren␈α␈t␈α
poin␈α␈t␈α
of␈α
view.␈α∪F␈α⎇urtherm␈α↓ore,␈α
special␈α
operations␈α
lik␈α␈e␈α
\rev␈α␈ersion"␈α
can␈α
be
␈βπe␈↓ ↓H␈ε"performed␈α∂on␈α⊂po␈α␈w␈α␈er␈α∂series␈α∂but␈α⊂n␈α↓ot␈α∂on␈α⊂polyn␈α↓omials,␈α⊂since␈α⊂polyn␈α↓omials␈α∂are␈α∂n␈α↓ot
␈βλ⊂␈↓ ↓H␈ε"closed␈αunder␈αthese␈αoperations.
␈βλ;␈↓ α␈ε"Manipulation␈αof␈αpo␈α␈w␈α␈er␈αseries␈αhas␈αsev␈α␈eral␈αapplications␈αto␈αn␈α␈umerical␈αanalysis,
␈βλf␈↓ ↓H␈ε"but␈α	perhaps␈α	its␈α
greatest␈α	use␈α
is␈α	the␈α	determination␈α
of␈↓ πd␈ε"asymptotic␈α
expansions␈α	(as␈α	w␈α␈e
␈β	⊃␈↓ ↓H␈ε"ha␈α␈v␈α␈e␈αseen␈αin␈αSection␈α1.2.11.3),␈αor␈αthe␈αcalculation␈αof␈αquan␈α␈tities␈αde|ned␈αby␈αcertain
␈β	=␈↓ ↓H␈ε"generating␈α∩functions.␈α$The␈α∩latter␈α∪applications␈α∩mak␈α␈e␈α∪it␈α∩desirable␈α∪to␈α∩calculate
␈β	h␈↓ ↓H␈ε"the␈α⊃coe}cien␈α␈ts␈α⊃exactly,␈α∩instead␈α⊃of␈α⊃with␈α⊃⎇oating␈α⊃poin␈α␈t␈α⊃arithmetic.␈α∨All␈α⊂of␈α⊃the
␈β
∪␈↓ ↓H␈ε"algorithms␈α
in␈α∞this␈α
section,␈α∞with␈α∞obvious␈α
exceptions,␈α∞can␈α∞be␈α
done␈α∞using␈α
rational
␈β
>␈↓ ↓H␈ε"operations␈α
only,␈α∞so␈α
the␈α
techniques␈α∞of␈α
Section␈α
4.5.1␈α∞can␈α
be␈α
used␈α∞to␈α
obtain␈α
exact
␈β
i␈↓ ↓H␈ε"results␈αwhen␈αdesired.
␈β∃␈↓ α␈ε"The␈αcalculation␈α
of␈↓ ∧7␈ε(W␈↓ ∧[␈ε"(␈↓ ∧g␈ε(z␈↓ ∧z␈ε")␈α
=␈↓ ¬?␈ε(U␈↓ ¬\␈ε"(␈↓ ¬h␈ε(z␈↓ ¬{␈ε")␈ε6␈αλε␈↓ ε<␈ε(V␈↓ εY␈ε"(␈↓ εe␈ε(z␈↓ εx␈ε")␈α
is,␈αof␈↓ πj␈ε"course,␈αtrivial,␈α
since␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e
␈β@␈↓ ↓H␈ε(W␈↓ α¬␈ε"=␈↓ α3␈ε(U␈↓ αa␈ε6ε␈↓ βπ␈ε(V␈↓ β:␈ε"for␈ε(␈αλn␈ε"␈α
=␈α
0,␈α
1,␈α	2,␈↓ ¬-␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ¬c␈ε".␈α∂It␈αλis␈α	also␈α	easy␈α	to␈α	calculate␈↓ 	␈ε(W␈↓ 	/␈ε"(␈↓ 	;␈ε(z␈↓ 	N␈ε")␈α
=␈↓ 
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/␈ε"(␈↓ 
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N␈ε")␈↓ 
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x␈ε"(␈↓ ∧␈ε(z␈↓ ⊗␈ε"),
␈βL␈↓ ↓f␈ε+n␈↓ αK␈ε+n␈↓ β≥␈ε+n
␈βk␈↓ ↓H␈ε"using␈αthe␈αfamiliar␈α\␈↓ β|␈ε"Cauch␈α␈y␈αproduct␈αrule":
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␈β=␈↓ αq␈ε(W␈↓ β.␈ε"=␈↓ ∧Q␈ε(U␈↓ ∧|␈ε(V␈↓ ¬↑␈ε"=␈↓ ε␈ε(U␈↓ ε6␈ε(V␈↓ εg␈ε"+␈↓ π∪␈ε(U␈↓ π=␈ε(V␈↓ λ≤␈ε"+␈↓ λH␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λz␈ε"+␈↓ 	&␈ε(U␈↓ 	S␈ε(V␈↓ 	y␈ε".␈↓ α␈ε"(2)
␈βJ␈↓ β⊂␈ε+n␈↓ ∧j␈ε+k␈↓ ¬∩␈ε+n␈ε9␈α␈␈␈↓ ¬B␈ε+k␈↓ ε%␈ε%0␈↓ εK␈ε+n␈↓ π,␈ε%1␈↓ πS␈ε+n␈ε9␈α␈␈␈ε%1␈↓ 	?␈ε+n␈↓ 	h␈ε%0
␈βn␈↓ β\␈ε%0␈ε9∀␈↓ ∧	␈ε+k␈↓ ∧→␈ε9∀␈ε+n
␈β
#␈↓ α␈ε"The␈α∞quotien␈α␈t␈↓ βf␈ε(W␈↓ ∧
␈ε"(␈↓ ∧⊗␈ε(z␈↓ ∧(␈ε")␈α
=␈↓ ∧q␈ε(U␈↓ ¬∂␈ε"(␈↓ ¬≠␈ε(z␈↓ ¬-␈ε")/␈↓ ¬K␈ε(V␈↓ ¬i␈ε"(␈↓ ¬u␈ε(z␈↓ ελ␈ε"),␈α∞when␈↓ π␈ε(V␈↓ π>␈ε6≤␈ε"␈α
0,␈α∞can␈α
be␈α
obtained␈α∞by␈α
in␈α␈ter-
␈β
0␈↓ π!␈ε%0
␈β
O␈↓ ↓H␈ε"changing␈↓ α`␈ε(U␈↓ β	␈ε"and␈↓ βO␈ε(W␈↓ β␈␈ε"in␈α(2);␈αw␈α␈e␈↓ ¬≡␈ε"obtain␈αthe␈αrule
␈β∞∀␈↓ ∧{␈ε↓X
␈β∞≥␈↓ βg␈ε↓∩␈↓ ε\␈ε↓∪␈↓ εr␈ε↓≡
␈β∞6␈↓ α|␈ε(W␈↓ β9␈ε"=␈↓ β⎇␈ε(U␈↓ ∧2␈ε6␈␈↓ ¬S␈ε(W␈↓ ε∧␈ε(V␈↓ π↔␈ε(V
␈β∞C␈↓ β≠␈ε+n␈↓ ∧∃␈ε+n␈↓ ¬r␈ε+k␈↓ ε~␈ε+n␈ε9␈α␈␈␈↓ εJ␈ε+k␈↓ π-␈ε%0
␈β∞g␈↓ ∧↑␈ε%0␈ε9∀␈↓ ¬
␈ε+k␈↓ ¬≠␈ε%<␈ε+n
␈β∂→␈↓ β9␈ε"=␈α
(␈↓ βs␈ε(U␈↓ ∧(␈ε6␈␈↓ ∧T␈ε(W␈↓ ¬β␈ε(V␈↓ ¬5␈ε6␈␈↓ ¬a␈ε(W␈↓ ε⊃␈ε(V␈↓ εo␈ε6␈␈↓ π≠␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ πM␈ε6␈␈↓ πy␈ε(W␈↓ λY␈ε(V␈↓ 	␈ε")/␈↓ 	≡␈ε(V␈↓ 	D␈ε".␈↓ α␈ε"(3)
␈β∂%␈↓ ∧␈ε+n␈↓ ∧r␈ε%0␈↓ ¬→␈ε+n␈↓ ε␈ε%1␈↓ ε&␈ε+n␈ε9␈␈ε%1␈↓ λ_␈ε+n␈ε9␈␈ε%␈α␈1␈↓ λo␈ε%1␈↓ 	4␈ε%0
␈β∂k␈↓ ↓H␈ε"This␈αrecurrence␈αrelation␈αfor␈αthe␈↓ ¬=␈ε(W␈↓ ¬a␈ε"'s␈αmak␈α␈es␈αit␈αeasy␈αto␈αdetermine␈↓ 	4␈ε(W␈↓ 	c␈ε",␈↓ 	y␈ε(W␈↓ 
(␈ε",␈↓ 
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m␈ε",␈↓ α␈ε".␈αε.␈αε.
␈β∂x␈↓ 	S␈ε%0␈↓ 
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\␈ε%2
␈β⊂⊗␈↓ ↓H␈ε"successiv␈α␈ely,␈α
with␈α↓out␈αinputting␈↓ ¬5␈ε(U␈↓ ¬m␈ε"and␈↓ ε1␈ε(V␈↓ εe␈ε"un␈α␈til␈αa$er␈↓ λ
␈ε(W␈↓ λx␈ε"has␈α
been␈α
computed.
␈β⊂#␈↓ ¬N␈ε+n␈↓ εG␈ε+n␈↓ λ,␈ε+n␈ε9␈␈ε%␈α␈1
␈β⊂B␈↓ ↓H␈ε"Let␈α
us␈αsa␈α␈y␈α
that␈α
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po␈α␈w␈α␈er␈α
series␈α
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algorithm␈α
with␈α
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latter␈αpropert␈α␈y
␈β⊂m␈↓ ↓H␈ε"is␈α∞\on-line";␈α∂an␈↓ βI␈ε"on-line␈α∞algorithm␈α∂can␈α∞be␈α∞used␈α∞to␈α∞determine␈↓ 	␈ε(N␈↓ 	<␈ε"coe}cien␈α␈ts␈↓ 
s␈ε(W␈↓ "␈ε",
␈β⊂y␈↓ ∩␈ε%0
␈β⊃_␈↓ ↓H␈ε(W␈↓ ↓w␈ε",␈↓ α
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␈β⊃$␈↓ ↓f␈ε%1␈↓ αr␈ε+N␈↓ β
␈ε9␈␈ε%1
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.7␈↓ 
v␈ε"507
␈β↓\␈↓ ε␈ε∞MANIPUL␈α↓A␈α}TION␈α
OF␈α
P␈α␈OWER␈α
S␈α␈E␈α↓RIES
␈βα$␈↓ ↓H␈ε"theory␈αto␈αrun␈αthe␈αalgorithm␈αinde|nitely␈αand␈αcompute␈αthe␈αen␈α␈tire␈αpo␈α␈w␈α␈er␈αseries;␈αor
␈βαO␈↓ ↓H␈ε"to␈α	run␈α
it␈α	un␈α␈til␈α
a␈α	certain␈α
condition␈α	is␈α
met.␈α⊂(The␈α	opposite␈α
of␈α	\on-line"␈α
is␈α	\o{-line.")
␈βαz␈↓ α␈ε"If␈αthe␈αcoe}cien␈α␈ts␈↓ ∧ ␈ε(U␈↓ ∧V␈ε"and␈↓ ¬≠␈ε(V␈↓ ¬O␈ε"are␈αin␈α␈tegers␈αbut␈αthe␈↓ λ␈ε(W␈↓ λH␈ε"are␈αn␈α↓ot,␈αthe␈αrecurrence
␈ββπ␈↓ ∧9␈ε+k␈↓ ¬1␈ε+k␈↓ λ+␈ε+k
␈ββ&␈↓ ↓H␈ε"relation␈α∂(3)␈α⊂in␈α␈v␈α␈olv␈α␈es␈α⊂computation␈α⊂with␈↓ ε@␈ε"fractions.␈α≠This␈α⊂can␈α⊂be␈α⊂a␈α␈v␈α␈oided␈α⊂by␈α∂the
␈ββQ␈↓ ↓H␈ε"all-in␈α␈teger␈αapproach␈αdescribed␈αin␈αexercise␈α2.
␈ββv␈↓ 	↑␈ε+
␈ββ|␈↓ α␈ε"Let␈αus␈αn␈α↓o␈α␈w␈αconsider␈αthe␈α
operation␈αof␈αcomputing␈↓ λ∂␈ε(W␈↓ λ3␈ε"(␈↓ λ?␈ε(z␈↓ λQ␈ε")␈α
=␈↓ 	⊗␈ε(V␈↓ 	3␈ε"(␈↓ 	?␈ε(z␈↓ 	R␈ε")␈↓ 	s␈ε",␈αwhere␈ε(␈α␈ε"␈αis
␈β∧'␈↓ ↓H␈ε"an␈α
\arbitrary"␈α
po␈α␈w␈α␈er.␈α∪F␈α⎇or␈↓ ∧t␈ε"example,␈α
w␈α␈e␈α
could␈α
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the␈↓ λz␈ε"square␈α
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3␈ε"␈α
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␈β⊂B␈↓ ↓H␈ε"comparativ␈α␈ely␈α⊃straigh␈α␈tforw␈α␈ard␈α⊃\po␈α␈w␈α␈er␈α⊃series␈α⊃meth␈α↓od"␈α⊃is␈α⊃o$en␈α⊂used␈α⊃to␈α⊃obtain
␈β⊂m␈↓ ↓H␈ε"the␈α⊂solution␈α∂of␈α⊂di{eren␈α␈tial␈α⊂equations;␈α∩this␈α⊂technique␈α⊂is␈α⊂explained␈α⊂in␈α⊂nearly␈α∂all
␈β⊃_␈↓ ↓H␈ε"textbo␈α↓oks␈αabout␈αdi{eren␈α␈tial␈αequations.
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"508␈↓ 
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␈βε⊂␈↓ ↓H␈ε"in␈α␈terest␈αis␈αcalled␈α\␈↓ βe␈ε"rev␈α␈ersion␈αof␈αseries."␈α⊂This␈αproblem␈αis␈αto␈αsolv␈α␈e␈αthe␈αequation
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p␈ε"(11)
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in␈α␈v␈α␈ersion
␈β		␈↓ ↓H␈ε"form␈α␈ula␈α∩[␈ε/M␈↓ α|␈ε/∞␈↓ α⎇␈ε/e␈↓ β
␈ε/m␈α↓oires␈α∪Acad.␈α∩Ro␈α␈y␈α␈ale␈α∪des␈α∪Sciences␈α∩et␈α∪Belles-Lettres␈α∩de␈α∪Berlin␈ε2␈α∩24
␈β	4␈↓ ↓H␈ε"(1768),␈α251↑326],␈αwhich␈αstates␈αthat
␈β	⎇␈↓ ¬?␈ε(W␈↓ ¬|␈ε"=␈↓ ε*␈ε(U␈↓ π∧␈ε"/␈ε(n␈ε"␈α␈,
␈β
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␈β
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␈β⊂␈↓ ε∂␈ε↓␈␈↓ ε,␈ε↓↓␈↓ εq␈ε↓␈␈↓ π∞␈ε↓↓␈↓ π`␈ε↓␈␈↓ π}␈ε↓↓
␈β&␈↓ ε≥␈ε%4␈↓ ε␈␈ε%5␈↓ πn␈ε%6
␈β)␈↓ ¬!␈ε9␈␈ε%␈α␈5␈↓ λ→␈ε%2
␈β/␈↓ ↓H␈ε"F␈α⎇or␈α∞example,␈α∂w␈α␈e␈α∞ha␈α␈v␈α␈e␈α∞(1␈ε6␈α
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␈β␈↓ ↓H␈ε"for␈αen␈α␈umerating␈αbinary␈αtrees␈αin␈αSection␈α2.3.4.4.
␈β6␈↓ α␈ε"Relation␈α⊂(12)␈α∂sh␈α↓o␈α␈ws␈α⊂that␈α⊂w␈α␈e␈α⊂can␈α∂rev␈α␈ert␈α⊂the␈α⊂series␈α⊂(10)␈α∂if␈α⊂w␈α␈e␈α⊂compute␈α∂the
␈β[␈↓ ¬ ␈ε%2␈↓ ε↔␈ε9␈␈ε+n
␈βa␈↓ ↓H␈ε"negativ␈α␈e␈α	po␈α␈w␈α␈ers␈α
(1␈αβ+␈↓ ∧∂␈ε(V␈↓ ∧5␈ε(t␈ε"␈α∧+␈↓ ∧m␈ε(V␈↓ ¬∪␈ε(t␈↓ ¬4␈ε"+␈↓ ¬[␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ε␈ε")␈↓ εR␈ε"for␈ε(␈α
n␈ε"␈α
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1,␈α
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3,␈↓ λH␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ λ}␈ε".␈α∂A␈α	straigh␈α␈tforw␈α␈ard
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␈β

␈↓ ↓H␈ε"application␈α∞of␈α∞this␈α∂idea␈α∞w␈α␈ould␈α∞lead␈α∂to␈α∞an␈α∞on-line␈α∞rev␈α␈ersion␈α∂algorithm␈α∞that␈α∞uses
␈β
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␈β
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to␈α|nd␈↓ ε␈␈ε(N␈↓ π.␈ε"coe}cien␈α␈ts,␈α
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␈β
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␈β
c␈↓ ↓H␈ε"possible␈αto␈αw␈α␈ork␈α
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the␈α|rst␈ε(␈α
n␈ε"␈αcoe}cien␈α␈ts␈αof␈α
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␈β
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␈β∞λ␈↓ λ`␈ε%3
␈β∞∞␈↓ ↓H␈ε"obtaining␈αan␈αon-line␈αalgorithm␈αthat␈αrequires␈αonly␈αabout␈↓ λ=␈ε(N␈↓ λj␈ε"/6␈αm␈α␈ultiplications.
␈β∞I␈↓ ↓H␈ε2Algorithm␈αL␈ε"␈α(␈ε/Lagrangian␈αpo␈α␈w␈α␈er␈αseries␈αrev␈α␈ersion␈ε")␈ε2.␈ε"␈α↔This␈αon-line␈αalgorithm␈αinputs
␈β∞t␈↓ ↓H␈ε"the␈α∞v␈α}alue␈α∂of␈↓ β∃␈ε(V␈↓ βN␈ε"in␈α∂(10)␈α∂and␈α∂outputs␈α∞the␈α∂v␈α}alue␈α∂of␈↓ πc␈ε(W␈↓ λ%␈ε"in␈α∂(11),␈α∂for␈ε(␈α∂n␈ε"␈α∂=␈α∞2,␈α⊂3,␈α∂4,
␈β∂↓␈↓ β+␈ε+n␈↓ λα␈ε+n
␈β∂∨␈↓ ↓H␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ↓x␈ε",␈↓ α
␈ε(N␈↓ α-␈ε".␈α∞(The␈α	n␈α␈um␈α␈ber␈↓ ∧↔␈ε(N␈↓ ∧C␈ε"need␈α	n␈α↓ot␈αλbe␈α	speci|ed␈α	in␈α	adv␈α}ance;␈α
some␈α	other␈αλtermination
␈β∂K␈↓ ↓H␈ε"criterion␈αma␈α␈y␈αbe␈αsubstituted.)
␈β∂}␈↓ ↓L␈ε2L1.␈↓ α	␈ε"[Initialize.]␈α→Set␈ε(␈αn␈ε6␈α
␈ ␈ε"␈α
1,␈↓ ∧|␈ε(U␈↓ ¬0␈ε6␈ ␈ε"␈α
1.␈α→(The␈αrelation
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␈↓ ¬∃␈ε%0
␈β⊂>␈↓ βz␈ε%2␈↓ ∧z␈ε9␈␈ε+n␈↓ λr␈ε+n␈ε9␈α␈␈␈ε%1␈↓ 
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␈β⊂F␈↓ α␈ε"(1␈αλ+␈↓ α↑␈ε(V␈↓ β¬␈ε(t␈ε"␈αλ+␈↓ βF␈ε(V␈↓ βl␈ε(t␈↓ ∧∩␈ε"+␈↓ ∧>␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧n␈ε")␈↓ ¬6␈ε"=␈↓ ¬d␈ε(U␈↓ ε⊗␈ε"+␈↓ εB␈ε(U␈↓ εk␈ε(t␈ε"␈α	+␈↓ π-␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π←␈ε"+␈↓ λ␈ε(U␈↓ λd␈ε(t␈↓ 	;␈ε"+␈↓ 	g␈ε(O␈↓ 
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␈β⊂S␈↓ αt␈ε%2␈↓ β\␈ε%3␈↓ ¬⎇␈ε%0␈↓ ε[␈ε%1␈↓ λ#␈ε+n␈ε9␈␈ε%1
␈β⊃∂␈↓ α␈ε"will␈αbe␈αmain␈α␈tained␈αthrough␈α↓out␈αthis␈αalgorithm.)
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.7␈↓ 
v␈ε"509
␈β↓\␈↓ ε␈ε∞MANIPUL␈α↓A␈α}TION␈α
OF␈α
P␈α␈OWER␈α
S␈α␈E␈α↓RIES
␈βα"␈↓ ↓L␈ε2L2.␈↓ α	␈ε"[Input␈↓ αu␈ε(V␈↓ β∨␈ε".]␈α↔Increase␈ε(␈αn␈ε"␈αby␈α1.␈α∂If␈ε(␈αn␈ε"␈α
>␈↓ εD␈ε(N␈↓ εf␈ε",␈αthe␈αalgorithm␈αterminates;␈αotherwise
␈βα/␈↓ β
␈ε+n
␈βαM␈↓ α␈ε"input␈αthe␈αnext␈αcoe}cien␈α␈t,␈↓ ¬-␈ε(V␈↓ ¬W␈ε".
␈βαZ␈↓ ¬C␈ε+n
␈βα}␈↓ ↓L␈ε2L3.␈↓ α	␈ε"[Divide.]␈α_Set␈↓ βb␈ε(U␈↓ ∧↔␈ε6␈ ␈↓ ∧E␈ε(U␈↓ ∧w␈ε6␈␈↓ ¬#␈ε(U␈↓ ¬z␈ε(V␈↓ ε(␈ε6␈␈↓ εT␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π¬␈ε6␈␈↓ π0␈ε(U␈↓ πZ␈ε(V␈↓ λ	␈ε6␈␈↓ λ5␈ε(V␈↓ 		␈ε",␈αfor␈↓ 	W␈ε(k␈↓ 	u␈ε"=␈α
1,␈α2,␈↓ 
r␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ "␈ε",
␈ββ␈↓ β{␈ε+k␈↓ ∧↑␈ε+k␈↓ ¬;␈ε+k␈↓ ¬L␈ε9␈␈ε%␈α␈1␈↓ ε⊂␈ε%2␈↓ πI␈ε%1␈↓ πp␈ε+k␈↓ λJ␈ε+k␈↓ λ[␈ε%+1
␈ββ*␈↓ α␈ε(n␈ε6␈αλ␈␈ε"␈αλ2␈α(in␈αthis␈αorder);␈αthen␈αset
␈ββi␈↓ αS␈ε(U␈↓ β7␈ε6␈ ␈α
␈␈ε"2␈↓ ∧≠␈ε(U␈↓ ∧u␈ε(V␈↓ ¬#␈ε6␈␈ε"␈αλ3␈↓ ¬a␈ε(U␈↓ ε;␈ε(V␈↓ εj␈ε6␈␈↓ π⊗␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ πH␈ε6␈␈ε"␈αλ(␈ε(n␈ε6␈απ␈␈ε"␈αλ1)␈↓ λg␈ε(U␈↓ 	⊃␈ε(V␈↓ 	p␈ε6␈␈ε(␈αλn␈↓ 
1␈ε(V␈↓ 
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␈ββu␈↓ αl␈ε+n␈ε9␈␈ε%␈α␈1␈↓ ∧4␈ε+n␈ε9␈α␈␈␈ε%2␈↓ ¬
␈ε%2␈↓ ¬z␈ε+n␈ε9␈␈ε%␈α␈3␈↓ εQ␈ε%3␈↓ 	␈ε%1␈↓ 	'␈ε+n␈ε9␈α␈␈␈ε%1␈↓ 
G␈ε+n
␈β∧	␈↓ α␈ε↓␈␈↓ 	_␈ε↓↓
␈β∧(␈↓ α~␈ε"W␈α⎇e␈αha␈α␈v␈α␈e␈αthereby␈αdivided␈↓ ¬,␈ε(U␈↓ ¬I␈ε"(␈↓ ¬U␈ε(z␈↓ ¬h␈ε")␈αby␈↓ ε3␈ε(V␈↓ εQ␈ε"(␈↓ ε]␈ε(z␈↓ εp␈ε")/␈↓ π∞␈ε(z␈↓ π ␈ε";␈αcf.␈α(3)␈αand␈α(9).
␈β∧Y␈↓ ↓L␈ε2L4.␈↓ α	␈ε"[Output␈↓ β∪␈ε(W␈↓ βF␈ε".]␈α→Output␈↓ ∧s␈ε(U␈↓ ¬M␈ε"/␈ε(n␈ε"␈α(which␈αis␈↓ π→␈ε(W␈↓ πL␈ε")␈αand␈αreturn␈αto␈αL2.
␈β∧b␈↓ 
∨␈∧∧b
∨≠∂
␈β∧e␈↓ β2␈ε+n␈↓ ¬␈ε+n␈ε9␈␈ε%␈α␈1␈↓ π8␈ε+n
␈β¬	␈↓ πβ␈ε%2
␈β¬∂␈↓ α␈ε"When␈αapplied␈αto␈αthe␈αexample␈↓ ¬j␈ε(z␈↓ επ␈ε"=␈ε(␈α
t␈ε6␈αλ␈␈↓ εv␈ε(t␈↓ π∀␈ε",␈αAlgorithm␈αL␈αcomputes
␈β¬G␈↓ β↔␈ε(n␈↓ β{␈ε(V␈↓ ∧s␈ε(U␈↓ ¬d␈ε(U␈↓ εV␈ε(U␈↓ πG␈ε(U␈↓ λ9␈ε(U␈↓ 	*␈ε(W
␈β¬S␈↓ ∧⊂␈ε+n␈↓ ¬␈ε%0␈↓ ¬⎇␈ε%1␈↓ εn␈ε%2␈↓ π`␈ε%3␈↓ λR␈ε%4␈↓ 	I␈ε+n
␈β¬⎇␈↓ β→␈ε"1␈↓ ∧→␈ε"1␈↓ ¬
␈ε"1␈↓ 	K␈ε"1
␈βε(␈↓ β→␈ε"2␈↓ βu␈ε6␈␈ε"1␈↓ ¬
␈ε"1␈↓ ¬|␈ε"2␈↓ 	K␈ε"1
␈βεS␈↓ β→␈ε"3␈↓ ∧→␈ε"0␈↓ ¬
␈ε"1␈↓ ¬|␈ε"3␈↓ εm␈ε"6␈↓ 	K␈ε"2
␈βε}␈↓ β→␈ε"4␈↓ ∧→␈ε"0␈↓ ¬
␈ε"1␈↓ ¬|␈ε"4␈↓ ε[␈ε"10␈↓ πM␈ε"20␈↓ 	K␈ε"5
␈βπ*␈↓ β→␈ε"5␈↓ ∧→␈ε"0␈↓ ¬
␈ε"1␈↓ ¬|␈ε"5␈↓ ε[␈ε"15␈↓ πM␈ε"35␈↓ λ>␈ε"70␈↓ 	9␈ε"14
␈βπi␈↓ ↓H␈ε"Exercise␈α⊂8␈α⊃sh␈α↓o␈α␈ws␈α⊃that␈α⊃a␈α⊃sligh␈α␈t␈α⊃m␈α↓odi|cation␈α⊂of␈α⊃Algorithm␈α⊃L␈α⊃will␈α⊃solv␈α␈e␈α⊃a␈α⊂con-
␈βλ∀␈↓ ↓H␈ε"siderably␈αm␈α↓ore␈αgeneral␈αproblem␈αwith␈αonly␈αa␈αlittle␈αm␈α↓ore␈αe{ort.
␈βλE␈↓ α␈ε"Let␈αus␈αn␈α↓o␈α␈w␈αconsider␈αsolving␈αthe␈αequation
␈βλ|␈↓ ∧N␈ε%2␈↓ ¬O␈ε%3␈↓ πk␈ε%2␈↓ λd␈ε%3
␈β	∧␈↓ β"␈ε(U␈↓ βK␈ε(z␈↓ βf␈ε"+␈↓ ∧∩␈ε(U␈↓ ∧;␈ε(z␈↓ ∧g␈ε"+␈↓ ¬∪␈ε(U␈↓ ¬=␈ε(z␈↓ ¬h␈ε"+␈↓ ε∀␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ εH␈ε"=␈ε(␈α
t␈ε"␈αλ+␈↓ π7␈ε(V␈↓ π↑␈ε(t␈↓ λ∧␈ε"+␈↓ λ0␈ε(V␈↓ λV␈ε(t␈↓ λ⎇␈ε"+␈↓ 	)␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 
p␈ε"(14)
␈β	⊃␈↓ β:␈ε%1␈↓ ∧+␈ε%2␈↓ ¬,␈ε%3␈↓ πM␈ε%2␈↓ λF␈ε%3
␈β	C␈↓ ↓H␈ε"for␈ε(␈αt␈ε",␈αobtaining␈αthe␈αcoe}cien␈α␈ts␈αof␈αthe␈αpo␈α␈w␈α␈er␈αseries
␈β	{␈↓ ¬r␈ε%2␈↓ εz␈ε%3␈↓ λ↓␈ε%4
␈β
β␈↓ βu␈ε(t␈ε"␈α
=␈↓ ∧:␈ε(W␈↓ ∧i␈ε(z␈↓ ¬∧␈ε"+␈↓ ¬0␈ε(W␈↓ ¬`␈ε(z␈↓ ε␈ε"+␈↓ ε7␈ε(W␈↓ εg␈ε(z␈↓ π∩␈ε"+␈↓ π>␈ε(W␈↓ πn␈ε(z␈↓ λ→␈ε"+␈↓ λE␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λu␈ε".␈↓ 
p␈ε"(15)
␈β
∂␈↓ ∧Y␈ε%1␈↓ ¬O␈ε%2␈↓ εV␈ε%3␈↓ π]␈ε%4
␈β
B␈↓ ↓H␈ε"Eq.␈α∞(10)␈α∞is␈α∞the␈α∞special␈α∞case␈↓ ∧⎇␈ε(U␈↓ ¬4␈ε"=␈α∞1,␈↓ ε⊂␈ε(U␈↓ εG␈ε"=␈↓ εx␈ε(U␈↓ π/␈ε"=␈↓ π`␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λ_␈ε"=␈α
0.␈α⊗If␈↓ 	!␈ε(U␈↓ 	X␈ε6≤␈ε"␈α
0,␈α∞w␈α␈e␈α∞ma␈α␈y
␈β
N␈↓ ¬⊗␈ε%1␈↓ ε)␈ε%2␈↓ π⊃␈ε%3␈↓ 	:␈ε%1
␈β
m␈↓ ↓H␈ε"assume␈αthat␈↓ β∩␈ε(U␈↓ βE␈ε"=␈α
1,␈αif␈αw␈α␈e␈αreplace␈↓ ¬l␈ε(z␈↓ ε␈ε"by␈α(␈↓ εI␈ε(U␈↓ εs␈ε(z␈↓ πε␈ε");␈αbut␈αw␈α␈e␈αshall␈αconsider␈αthe␈αgeneral
␈β
z␈↓ β*␈ε%1␈↓ εb␈ε%1
␈β_␈↓ ↓H␈ε"equation␈α(14),␈αsince␈↓ ∧∧␈ε(U␈↓ ∧9␈ε"migh␈α␈t␈αequal␈αzero.
␈β%␈↓ ∧≤␈ε%1
␈βO␈↓ ↓H␈ε2Algorithm␈α
T␈ε"␈α(␈ε/General␈αpo␈α␈w␈α␈er␈αseries␈αrev␈α␈ersion␈ε")␈ε2.␈ε"␈α∃This␈αon-line␈αalgorithm␈αinputs␈α
the
␈βz␈↓ ↓H␈ε"v␈α}alues␈αof␈↓ αZ␈ε(U␈↓ β∩␈ε"and␈↓ βW␈ε(V␈↓ ∧␈ε"in␈α(14)␈αand␈αoutputs␈αthe␈αv␈α}alue␈αof␈↓ λε␈ε(W␈↓ λC␈ε"in␈α(15),␈αfor␈ε(␈α
n␈ε"␈α
=␈α
1,␈α2,␈α3,
␈βπ␈↓ αs␈ε+n␈↓ βm␈ε+n␈↓ λ$␈ε+n
␈β%␈↓ ↓H␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ↓x␈ε",␈↓ α
␈ε(N␈↓ α0␈ε".␈α⊂An␈αauxiliary␈αmatrix␈↓ ¬∂␈ε(T␈↓ ¬R␈ε",␈α1␈ε6␈α
∀␈ε(␈α
m␈ε6␈α	∀␈ε(␈α
n␈ε6␈α
∀␈↓ πW␈ε(N␈↓ πz␈ε",␈αis␈αused␈αin␈αthe␈αcalculations.
␈β2␈↓ ¬#␈ε+mn
␈βV␈↓ ↓J␈ε2T1.␈↓ α	␈ε"[Initialize.]␈α Set␈ε(␈α∂n␈ε6␈α∂␈ ␈ε"␈α⊂1.␈α≠Let␈α∂the␈α∂|rst␈α⊂t␈α␈w␈α␈o␈α∂inputs␈α⊂(namely,␈↓ 	D␈ε(U␈↓ 	⎇␈ε"and␈↓ 
F␈ε(V␈↓ 
m␈ε")␈α∂be
␈βc␈↓ 	]␈ε%1␈↓ 
\␈ε%1
␈β
↓␈↓ α␈ε"stored␈αin␈↓ β"␈ε(T␈↓ βc␈ε"and␈↓ ∧)␈ε(V␈↓ ∧O␈ε",␈αrespectiv␈α␈ely.␈α~(W␈α⎇e␈αm␈α␈ust␈αha␈α␈v␈α␈e␈↓ λ5␈ε(V␈↓ λe␈ε"=␈α
1.)
␈β
∞␈↓ β7␈ε%11␈↓ ∧?␈ε%1␈↓ λJ␈ε%1
␈β
2␈↓ ↓J␈ε2T2.␈↓ α	␈ε"[Output␈↓ β∪␈ε(W␈↓ βF␈ε".]␈α→Output␈αthe␈αv␈α}alue␈αof␈↓ ε8␈ε(T␈↓ ε⎇␈ε"(which␈αis␈↓ λ∃␈ε(W␈↓ λG␈ε").
␈β
?␈↓ β2␈ε+n␈↓ εM␈ε%1␈ε+n␈↓ λ3␈ε+n
␈β
c␈↓ ↓J␈ε2T3.␈↓ α	␈ε"[Input␈↓ αz␈ε(U␈↓ β'␈ε",␈↓ βC␈ε(V␈↓ βm␈ε".]␈α"Increase␈ε(␈α⊃n␈ε"␈α⊂by␈α⊃1.␈α∨If␈ε(␈α⊃n␈ε"␈α∩>␈↓ πR␈ε(N␈↓ πu␈ε",␈α∩the␈α⊃algorithm␈α⊂terminates;
␈β
o␈↓ β∪␈ε+n␈↓ βY␈ε+n
␈β∞∞␈↓ α␈ε"otherwise␈αstore␈αthe␈αnext␈αt␈α␈w␈α␈o␈αinputs␈α(namely␈↓ πO␈ε(U␈↓ λλ␈ε"and␈↓ λN␈ε(V␈↓ λx␈ε")␈αin␈↓ 	:␈ε(T␈↓ 	}␈ε"and␈↓ 
D␈ε(V␈↓ 
n␈ε".
␈β∞≠␈↓ πh␈ε+n␈↓ λd␈ε+n␈↓ 	O␈ε%1␈ε+n␈↓ 
Z␈ε+n
␈β∞?␈↓ ↓J␈ε2T4.␈↓ α	␈ε"[Multiply.]␈α→Set
␈β∞}␈↓ α7␈ε(T␈↓ β∧␈ε6␈ ␈↓ β2␈ε(T␈↓ βg␈ε(T␈↓ ¬∃␈ε"+␈↓ ¬A␈ε(T␈↓ ¬v␈ε(T␈↓ π$␈ε"+␈↓ πP␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λα␈ε"+␈↓ λ.␈ε(T␈↓ 	T␈ε(T
␈β∂␈↓ αL␈ε+m␈α␈n␈↓ βG␈ε%11␈↓ β|␈ε+m␈ε9␈α␈␈␈ε%1,␈ε+n␈ε9␈␈ε%␈α␈1␈↓ ¬V␈ε%12␈↓ ε␈ε+m␈ε9␈α␈␈␈ε%1,␈ε+n␈ε9␈α␈␈␈ε%2␈↓ λC␈ε%1,␈ε+n␈ε9␈α␈␈␈ε+m␈ε%␈α␈+1␈↓ 	h␈ε+m␈ε9␈␈ε%1,␈ε+m␈ε9␈α␈␈␈ε%1
␈β∂∨␈↓ πM␈ε↓␈
␈β∂>␈↓ α␈ε"and␈↓ αR␈ε(T␈↓ β∀␈ε6␈ ␈↓ βB␈ε(T␈↓ ∧α␈ε6␈␈↓ ∧.␈ε(V␈↓ ∧`␈ε(T␈↓ ¬$␈ε",␈αfor␈α2␈ε6␈α
∀␈ε(␈α
m␈ε6␈α
∀␈ε(␈α
n␈ε"␈α␈.␈↓ π[␈ε"A$er␈αthis␈αstep␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e
␈β∂J␈↓ αg␈ε%1␈ε+n␈↓ βW␈ε%1␈ε+n␈↓ ∧D␈ε+m␈↓ ∧u␈ε+mn
␈β∂z␈↓ β∩␈ε+m␈↓ ∧D␈ε+m␈↓ ε(␈ε+m␈ε%+␈α␈1␈↓ λZ␈ε+n␈↓ 	]␈ε+n␈ε%+␈α␈1
␈β⊂α␈↓ β∧␈ε(t␈↓ β8␈ε"=␈↓ βf␈ε(T␈↓ ∧1␈ε(z␈↓ ∧h␈ε"+␈↓ ¬∀␈ε(T␈↓ ε⊗␈ε(z␈↓ εy␈ε"+␈↓ π%␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ πW␈ε"+␈↓ λβ␈ε(T␈↓ λG␈ε(z␈↓ λv␈ε"+␈↓ 	"␈ε(O␈↓ 	>␈ε"(␈↓ 	J␈ε(z␈↓ 
≡␈ε"),␈↓ 
p␈ε"(16)
␈β⊂∂␈↓ β{␈ε+m␈α␈m␈↓ ¬)␈ε+m␈ε%,␈ε+m␈ε%␈α␈+1␈↓ λ_␈ε+mn
␈β⊂B␈↓ α␈ε"for␈α1␈ε6␈α
∀␈ε(␈α
m␈ε6␈α
∀␈ε(␈α
n␈ε".␈α⊂It␈α
is␈αeasy␈αto␈αv␈α␈erify␈α(16)␈αby␈αinduction␈αfor␈ε(␈αm␈ε6␈α
∃␈ε"␈α
2,␈αand␈αwhen
␈β⊂N␈↓ 
≡␈ε↓↓
␈β⊂m␈↓ α␈ε(m␈ε"␈α
=␈α
1,␈α
w␈α␈e␈α	ha␈α␈v␈α␈e␈↓ ∧
␈ε(U␈↓ ∧D␈ε"=␈↓ ∧r␈ε(T␈↓ ¬-␈ε"+␈↓ ¬T␈ε(V␈↓ ¬z␈ε(T␈↓ ε5␈ε"+␈↓ ε\␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π	␈ε"+␈↓ π0␈ε(V␈↓ πZ␈ε(T␈↓ λ∨␈ε"by␈α	(14)␈α
and␈α	(19).␈↓ 
<␈ε"Return
␈β⊂y␈↓ ∧%␈ε+n␈↓ ¬ε␈ε%1␈ε+␈α↓n␈↓ ¬i␈ε%2␈↓ ε∂␈ε%2␈ε+n␈↓ πF␈ε+n␈↓ πo␈ε+n␈α␈n
␈β⊃_␈↓ α␈ε"to␈αstep␈αT2.
␈β⊃!␈↓ βb␈∧⊃!βb≠∂
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"510␈↓ 
}␈ε"4.7
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα"␈↓ α␈ε"Equation␈α⊂(16)␈α⊂explains␈α⊂the␈α⊂mechanism␈α⊂of␈α⊂this␈α⊂algorithm,␈α⊃which␈α⊂is␈α∂due␈α⊂to
␈βαM␈↓ ↓H␈ε"Henry␈αC.␈↓ αc␈ε"Thacher,␈αJr.␈α[␈ε/CA␈α␈CM␈ε2␈α9␈ε"␈α(1966),␈α10↑11].␈α⊂The␈αrunning␈αtime␈αis␈αessen␈α␈tially
␈βαy␈↓ ↓H␈ε"the␈α
same␈α
as␈α∞Algorithm␈α
L␈↓ ∧U␈ε",␈α∞but␈α
considerably␈α
m␈α↓ore␈α∞storage␈α
space␈α
is␈α
required.␈α∀An
␈ββ$␈↓ ↓H␈ε"example␈αof␈αthis␈αalgorithm␈αis␈αw␈α␈ork␈α␈ed␈αin␈αexercise␈α9.
␈ββ[␈↓ α␈ε"Still␈αan␈α↓other␈αapproach␈αto␈αpo␈α␈w␈α␈er␈αseries␈αrev␈α␈ersion␈αhas␈αbeen␈αproposed␈αby␈αR.␈αP.
␈β∧ε␈↓ ↓H␈ε"Bren␈α␈t␈α
and␈αH.␈αT.␈↓ βL␈ε"Kung␈α
[␈ε/JA␈α␈CM␈ε2␈α25␈ε"␈α(1978),␈α581↑595],␈αbased␈αon␈α
the␈αfact␈αthat␈α
stand-
␈β∧1␈↓ ↓H␈ε"ard␈α∂iterativ␈α␈e␈α∞procedures␈α∂used␈α∂to␈α∂|nd␈α∂ro␈α↓ots␈α∂of␈α∂equations␈α∂o␈α␈v␈α␈er␈α∂the␈α∂real␈α∞n␈α␈um␈α␈bers
␈β∧\␈↓ ↓H␈ε"can␈α∞also␈α∂be␈α∂applied␈α∞to␈α∂equations␈α∂o␈α␈v␈α␈er␈α∞po␈α␈w␈α␈er␈α∂series.␈α_In␈α∂particular,␈α∂w␈α␈e␈α∂can␈α∞con-
␈β¬λ␈↓ ↓H␈ε"sider␈↓ α∨␈ε"Newton's␈α∞meth␈α↓od␈α∞for␈α∞computing␈α∞appro␈α␈ximations␈α
to␈α∞a␈α∞real␈α∞n␈α␈um␈α␈ber␈ε(␈α
t␈ε"␈α∞such
␈β¬3␈↓ ↓H␈ε"that␈↓ α→␈ε(f␈↓ α/␈ε"(␈ε(t␈ε")␈α⊂=␈α⊂0,␈α⊂giv␈α␈en␈α⊂a␈α⊂function␈↓ ¬Y␈ε(f␈↓ ¬}␈ε"that␈α⊂is␈α∂w␈α␈ell-beha␈α␈v␈α␈ed␈α⊂near␈ε(␈α⊂t␈ε":␈α∪If␈ε(␈α⊂x␈ε"␈α∂is␈α⊂a␈α∂go␈α↓od
␈β¬X␈↓ π≠␈ε90
␈β¬↑␈↓ ↓H␈ε"appro␈α␈ximation␈α∞to␈ε(␈α∂t␈ε",␈α∂then␈ε(␈α∂≡␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α∞=␈ε(␈α∂x␈ε6␈α
␈␈↓ ε2␈ε(f␈↓ εH␈ε"(␈ε(x␈ε")/␈↓ πε␈ε(f␈↓ π%␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α∞will␈α∂be␈α∞ev␈α␈en␈α∂better,␈α∂for␈α∂if␈α∞w␈α␈e
␈βεβ␈↓ π∧␈ε90␈↓ λ!␈ε%2␈↓ λm␈ε90␈↓ 	y␈ε90
␈βε	␈↓ ↓H␈ε"write␈ε(␈α∞x␈ε"␈α∂=␈ε(␈α∞t␈ε"␈α
+␈ε(␈α
∂␈ε"␈α∂w␈α␈e␈α∞ha␈α␈v␈α␈e␈↓ ∧k␈ε(f␈↓ ¬␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α∂=␈↓ ¬m␈ε(f␈↓ εβ␈ε"(␈ε(t␈ε")␈α
+␈ε(␈α	∂␈↓ εn␈ε(f␈↓ π
␈ε"(␈ε(t␈ε")␈α
+␈↓ πj␈ε(O␈↓ λπ␈ε"(␈↓ λ∪␈ε(∂␈↓ λ2␈ε"),␈↓ λW␈ε(f␈↓ λv␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α∂=␈↓ 	c␈ε(f␈↓ 
α␈ε"(␈ε(t␈ε"␈α↓)␈α	+␈↓ 
←␈ε(O␈↓ 
|␈ε"(␈ε(∂␈ε"␈α␈);
␈βε⊗␈↓ ¬%␈ε↓␈␈↓ πW␈ε↓↓␈↓ πw␈ε↓␈␈↓ 	B␈ε↓↓
␈βε.␈↓ ε∨␈ε90␈↓ π:␈ε%2␈↓ λ~␈ε90␈↓ ε␈ε%2
␈βε4␈↓ ↓H␈ε"consequen␈α␈tly␈ε(␈α
⎇␈ε"␈α␈(␈ε(x␈ε")␈α=␈ε(␈αt␈ε"␈α	+␈ε(␈α	∂␈ε6␈αλ␈␈↓ ¬3␈ε"0␈α	+␈ε(␈α	∂␈↓ ε	␈ε(f␈↓ ε(␈ε"(␈ε(t␈ε"␈α↓)␈αλ+␈↓ πβ␈ε(O␈↓ π ␈ε"(␈↓ π,␈ε(∂␈↓ πK␈ε")␈↓ πe␈ε"/␈↓ λ¬␈ε(f␈↓ λ$␈ε"(␈ε(t␈ε")␈α	+␈↓ λ␈␈ε(O␈↓ 	≠␈ε"(␈ε(∂␈ε")␈↓ 	\␈ε"=␈ε(␈αt␈ε"␈α	+␈↓ 
N␈ε(O␈↓ 
k␈ε"(␈↓ 
w␈ε(∂␈↓ ⊗␈ε").
␈βε`␈↓ ↓H␈ε"Applying␈αthis␈αidea␈αto␈αpo␈α␈w␈α␈er␈αseries,␈αlet␈↓ ε'␈ε(f␈↓ ε<␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α
=␈↓ π ␈ε(V␈↓ π>␈ε"(␈ε(x␈ε")␈ε6␈αλ␈␈↓ λ≡␈ε(U␈↓ λ;␈ε"(␈↓ λG␈ε(z␈↓ λZ␈ε"),␈αwhere␈↓ 	d␈ε(U␈↓ 

␈ε"and␈↓ 
S␈ε(V␈↓ 
|␈ε"are
␈βπ␈↓ ↓H␈ε"the␈α
po␈α␈w␈α␈er␈α∞series␈α∞in␈α
Eq.␈α∞(14).␈α∃W␈α⎇e␈α∞wish␈α
to␈α∞|nd␈α∞the␈α
po␈α␈w␈α␈er␈α∞series␈ε(␈α∞t␈ε"␈α∞in␈↓ 	v␈ε(z␈↓ 
↔␈ε"such␈α
that
␈βπ0␈↓ ε+␈ε+n␈ε9␈␈ε%1␈↓ λ~␈ε+n
␈βπ6␈↓ ↓H␈ε(f␈↓ ↓]␈ε"(␈ε(t␈ε")␈α
=␈α
0.␈α⊂Let␈ε(␈α
x␈ε"␈α
=␈↓ βr␈ε(W␈↓ ∧"␈ε(z␈↓ ∧9␈ε"+␈↓ ∧b␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬⊂␈ε"+␈↓ ¬9␈ε(W␈↓ ε→␈ε(z␈↓ εv␈ε"=␈ε(␈α
t␈ε"␈α¬+␈↓ π←␈ε(O␈↓ π|␈ε"(␈↓ λλ␈ε(z␈↓ λ.␈ε")␈αbe␈α
an␈α
\appro␈α␈ximation"
␈βπB␈↓ ∧⊃␈ε%1␈↓ ¬X␈ε+n␈ε9␈α␈␈␈ε%1
␈βπ[␈↓ ε*␈ε90
␈βπa␈↓ ↓H␈ε"to␈ε(␈α	t␈ε"␈α
of␈α
order␈ε(␈α
n␈ε"␈α␈;␈αthen␈ε(␈α	⎇␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α
=␈ε(␈α
x␈ε6␈αβ␈␈↓ ¬B␈ε(f␈↓ ¬W␈ε"(␈ε(x␈ε")/␈↓ ε∃␈ε(f␈↓ ε4␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α
will␈α	be␈α
an␈α
appro␈α␈ximation␈α	of␈α
order␈α
2␈ε(n␈ε"␈α␈,
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␈βε%␈↓ ↓H␈ε"Algorithms␈αL␈αand␈αT␈αlose␈αout␈αto␈αthis␈α\high-speed"␈αmeth␈α↓od.)
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␈βπ'␈↓ ↓H␈ε"o{-line␈↓ αA␈ε"algorithm␈α∂wh␈α↓ose␈α⊂running␈α∂time␈α∂w␈α␈as␈α⊂appro␈α␈ximately␈α∂the␈α∂same␈α⊂as␈α∂that␈α∂of
␈βπR␈↓ ↓H␈ε"Algorithms␈αL␈αand␈αT.
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␈βλ=␈↓ ↓H␈ε(x␈↓ ↓|␈ε6␈ ␈↓ α+␈ε(f␈↓ αA␈ε"(␈↓ αM␈ε(x␈↓ β"␈ε"),␈α
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␈β⊂π␈↓ ↓H␈ε"F␈α⎇urtherm␈α↓ore,␈αw␈α␈e␈αcan␈αev␈α␈en␈αuse␈α(20)␈αto␈αde|ne␈↓ πε␈ε(U␈↓ πD␈ε"for␈αn␈α↓on-in␈α␈teger␈αv␈α}alues␈αof␈ε(␈αn␈ε"␈α␈;␈αthe
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␈βαy␈↓ ↓H␈ε"with␈αsome␈αgiv␈α␈en␈αfunction␈↓ ∧←␈ε(U␈↓ ∧⎇␈ε",␈αw␈α␈e␈αw␈α␈an␈α␈t␈αto␈α|nd␈↓ π∪␈ε(V␈↓ π=␈ε"and␈ε(␈αu␈ε"␈αsuch␈αthat␈α(19)␈αh␈α↓olds,␈αi.e.,
␈ββ$␈↓ ↓H␈ε"such␈αthat
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␈ε",␈α
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␈β∧;␈↓ ↓H␈ε"by␈αErnst␈↓ α]␈ε"Schr␈↓ β#␈ε"∪␈↓ β#␈ε"o␈↓ β5␈ε"der␈αin␈ε/␈αMath.␈α
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␈β¬<␈↓ α␈ε"Expanding␈α∪(21)␈α∩with␈ε(␈α∪u␈ε"␈α∃=␈↓ ¬S␈ε(U␈↓ ε⊂␈ε"and␈α∩equating␈α∪coe}cien␈α␈ts␈α∪of␈↓ 	b␈ε(z␈↓ 
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␈β¬g␈↓ ↓H␈ε"sequence␈αof␈αequations␈αthat␈αbegins
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␈βε3␈↓ π#␈ε(U␈↓ πQ␈ε(V␈↓ λ␈ε"+␈↓ λ,␈ε(U␈↓ λ←␈ε"=␈↓ 	
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␈ε(U␈↓ 	7␈ε(V
␈βεv␈↓ ε'␈ε%3␈↓ π↔␈ε%1␈↓ π@␈ε%2␈↓ πg␈ε%2␈↓ λD␈ε%3␈↓ 	&␈ε%1␈↓ 	M␈ε%3
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␈ε(U␈↓ 	7␈ε(V
␈βπ,␈↓ β[␈ε%4␈↓ ∧x␈ε%2␈↓ ¬∨␈ε%3␈↓ ε∞␈ε%1␈↓ ε8␈ε%3␈↓ ε↑␈ε%2␈↓ πg␈ε%2␈↓ λD␈ε%3␈↓ 	&␈ε%1␈↓ 	M␈ε%4
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when␈↓ ε⎇␈ε(U␈↓ π0␈ε"=␈α
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trivially␈↓ 	s␈ε(U␈↓ 
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is␈α∞a␈α∞unique␈α
solution␈α∞unless␈↓ λ∀␈ε(U␈↓ λK␈ε"is␈α∞a␈α∞ro␈α↓ot␈α
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2.
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␈β
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␈β
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=␈↓ εu␈ε(U␈↓ π&␈ε"(␈↓ π2␈ε(z␈↓ πM␈ε6␈␈ε(␈αλ␈ε")␈αλ+␈ε(␈αλ␈ε".␈α⊂F␈α⎇urther␈αdetails␈αcan
␈β⊃⊗␈↓ ↓H␈ε"be␈αfound␈αin␈αBren␈α␈t␈αand␈αT␈α⎇raub's␈αpaper␈α[␈ε/SIAM␈αJ.␈αComputing␈ε2␈α9␈ε"␈α(1980),␈α54↑66].
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